Geometria com o Sketchpad
Introdução à geometria elementar
02. Polígonos e poliedros
Polígonos e poliedros
Resumo
1. Existem “objectos” matemáticos que desempenham um papel fundamental no ensino da matemática, em particular nos níveis básico e secundário. Como a história da matemática se confundiu, durante muitos séculos, com a da geometria, esses objectos pertencem frequentemente ao domínio da geometria. Os polígonos e os poliedros são certamente objectos a privilegiar ao longo de toda a escolaridade, variando o tipo de tratamento se acordo com o desenvolvimento da maturidade dos alunos. Começam por ser simples objectos lúdicos, a exemplo das “prendas” que Froebel – inventor do kindergarten – incluiu nos primeiros jardins-escolas. Durante os primeiros anos de escolaridade (digamos 1º e 2º ciclos do básico), em lugar de servirem para despejar na memória dos alunos dezenas de nomes – como infelizmente é habitual –, devem ser objecto de inúmeras manipulações e construções de diversos tipos, estimulando e desenvolvendo as capacidades de visualização e representação desses objectos e de percepção das suas propriedades. em especial das suas simetrias intrínsecas. Os conceitos (associados às palavras usadas pelo professor) irão amadurecendo e tornando-se mais abstractos e consistentes a partir do 3º ciclo, e permitirão a introdução a uma formalização matemática durante o secundário.
2. Os conceitos de polígono e de poliedro constituem um excelente ponto de partida para a compreensão da natureza das definições em matemática. Mostram ao mesmo tempo o seu carácter de convenção e a sua importãncia decisiva para a construção da matemática. Além disso, certas actividades de classificação daqueles objectos são bons exemplos de estudo da organização local da matemática e portanto de uma introdução ao carácter axiomático da estrutura das teorias matemáticas, que deverá fazer parte naturalmente de um dos principais objectivos da educação matemática, a compreensão da natureza da matemática como ciência.
3. A partir pelo menos do terceiro ciclo do básico, a utilização do Sketchpad no estudo dos polígonos e dos poliedros (em conjunto com as actividades de manipulação e construção física – por exemplo dos poliedros) potencia muito o estudo destes objectos. Isto é verdade em particular nas actividades de visualização e representação, que devem ser permanentes. Os tipos de representação mais usuais (vistas e perspectiva cavaleira) devem ser apoiados no Sketchpad.
4. O estudo dos polígonos inclui naturalmente o caso dos polígonos regulares e dos polígonos estrelados. No estudo dos poliedros estão naturalmente incluídos os chamados sólidos platónicos (ou sejam, os políedros regulares), os arquimedianos e a dualidade nos poliedros. Por último, a ideia de politopo – polidro regular de qualquer dimensão – ou seja 2, 3 e ≥4 – pode ser introduzida, incluindo um estudo mais detalhado do hipercubo de dimensão 4.
Recursos
• Os poliedros
Apresentação em powerpoint de uma introdução à história dos poliedros (pode fazer o download de uma versão antiga, em revisão, da página do site relativa aos textos de apoio)
• Tudo o que há num cubo
Documento pdf reproduzindo um artigo saído no número 26 da revista Educação e Matemática (ainda não disponível)
• Sobre as definições (I) e Sobre as definições (II)
Artigos a publicar na revista Educação e Matemática (apenas disponível em documento pdf uma versão de trabalho do primeiro)
• Os poliedros
Documento pdf com o extracto das páginas 231 a 249 do livro Geometria: temas actuais.
• Euclides: demonstração de que existem apenas cinco poliedros regulares
Documento pdf para alunos do secundário – projecto Matemática para Todos/DEFCUL)
Textos de apoio
Propostas de trabalho
• PTII.01. Construção de quadriláteros; teorema de Varignon; classificação dos quadriláteros
• Actividades iniciais relativas a quadriláteros
• PTII.01A. Análise de uma definição de paralelogramo
• PTII.02. À procura de uma definição de poliedro regular
Partindo de uma definição de polígono regular, nesta actividade procura-se uma definição de poliedro regular por analogia com aquela.
• PTII.03. À procura de todos os poliedros regulares
Adoptando uma definição de poliedro regular, demonstrar quantos existem
• PTII.04. Representação de poliedros regulares (vistas e perspectiva cavaleira)
Dois métodos para representar o cubo no plano: as vistas (da geometria descritiva) e a perspectiva cavaleira
• PTII.05. Secções planas do cubo
Tipos de polígonos que se podem obter para diversas posições do plano secante em relação ao cubo (em preparação); representação a 2D do cubo e das secções. (em preparação)